Gauss « ValCon >> MATH

Tag Archives: Gauss

Pi greco – Approssimazioni

Posted on 23 Novembre 2017 by admin

Comments off

Frazioni

$pi_html_mb659cd9$	3
$pi_html_m7037412$	$3,\overline{160493827}$
$pi_html_a4a7e25$	3,125
$pi_html_3b99718a$	$3,1\overline{5}$
$pi_html_m12349de$	3,14
$pi_html_m15c31bf5$	$3,\overline{142857}$	Archimede
$pi_html_6be393f5$	$3,141\overline{6}$
$pi_html_425aa87f$	3,14163…
$pi_html_m2743b656$	3,1416
$pi_html_m2cb4b953$	3,1415929…	Zu Chongzhi
$pi_formule_html_3cc2929e$	3,141592653589793…

Radici

$temp_html_m4ef0b6a9$	3,162277660…
$radici_html_m11462e6$	3,141380652…
$radici_html_m449f57e0$	3,1415522358…
$radici_html_m91741c9$	3,141586417…
$radici_html_m714eb4d5$	3,1415924876…
$radici_html_7f068c01$	3,14159265…
$pi_formule_html_3cc2929e$	3,141592653…

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni

Serie

$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots$
(Leibniz) Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
$\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots$
(Eulero) Reciproci dei quadrati
$\displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots$
Reciproci delle quarte potenze
$\pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots$
Il numero 2 ha segno positivo
I numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
I numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
Per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
$\displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n$
(Bailey, Borwein, Plouffe) …
… (Ramanujan)

Produttorie

$\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{4\cdot 7} \ \dots$
(Wallis) Al numeratore tutti i quadrati dei numeri pari, al denominatore il numero al denominatore meno 1
$\displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\frac{19}{20}\cdot\frac{23}{24}\ \dots$
(Eulero) Al numeratore tutti i numeri primi dispari, al denominatore il multiplo di 4 più vicino al numeratore
$\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots$ (Eulero)
Il prodotto percorre tutti i numeri primi
$\pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots$ (Viète)

Frazioni continue

Codifiche: Python

Problemino di Gauss

Posted on 1 Novembre 2017 by admin

Comments off

Quanto vale la somma dei numeri da 1 a 100?

Soluzione 1

Svolgi 99 noiosissime addizioni…

i | Calcoli | Somma

-----+------------+-------

| | 0

1 | 0 + 1 | 1

2 | 1 + 2 | 3

3 | 3 + 3 | 6

... | ... | ...

98 | 4753 + 98 | 4851

99 | 4851 + 99 | 4950

100 | 4950 + 100 | 5050

Soluzione 2

Traduci la tabella precedente in un foglio di calcolo!

Soluzione 3

Traduci la tabella precedente in un programma per il computer!

Soluzione 4

Da Wikipedia: Carl Friedrich Gauss

Gauss era un bambino prodigio.
Esistono diversi aneddoti riguardo alla sua precocità; per esempio, Gauss, almeno secondo la leggenda, all’età di tre anni avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, forse più verosimile, racconta che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100.
Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l’insegnante ed il suo assistente Martin Bartels.
Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100×101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato.

Quindi