Esame di Stato 2017 – 9

2024-01-172018-03-31 di admin

Dimostrare che l’equazione $\arctan x +x^3+e^x=0$ ha una e una sola soluzione reale.

Sia

$f(x)=\arctan x +x^3+e^x$

Esistenza

$f(x)$ è continua…
$\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$
Teorema degli zeri: Esiste almeno uno zero…

Unicità

$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+3x^2+e^x$
$f\prime(x)\ > \ 0$
$f(x)$ crescente
No punti notevoli
Un solo zero

Approssimazione

$f(0)=1$ > 0
Crescente…: $f(-1)=-\frac{\pi}{4}-1+\frac{1}{e}$ < 0
f(x) ha segni discordi in [-1, 0]
Esiste $x_0\in (-1,\ 0)$ tale che $f(x_0)=0$

Conclusione

L’equazione $\arctan x +x^3+e^x=0$ ha una e una sola radice reale $x_0\in (-1,\ 0)$ .