Olimpiadi Italiane di Statistica 2017 V Finale – 12

Livia per andare a scuola usa l’autobus e può utilizzare la linea 1 o la linea 2.
Quando arriva alla fermata sotto casa, la probabilità che il primo autobus che passi sia della linea 1 è 0,6.
La probabilità di trovare posto a sedere sulla linea 1 è 0,2, mentre sulla linea 2 è 0,5.
Questa mattina Livia ha preso il primo autobus che è passato ed è riuscita a sedersi.
Qual è la probabilità che sia arrivata con la linea 1?

Osserva la figura

Dati

  1. p(“linea 1”) = \displaystyle \frac{6}{10}
  2. p(“seduta” | “linea 1”) = \displaystyle \frac{2}{10}
  3. p(“seduta” | “linea 2”) = \displaystyle \frac{5}{10}

Calcoli

  1. p(“linea 2”)
    = 1 – p(“linea 1”)
    = \displaystyle \frac{4}{10}
  2. p(“seduta” e “linea 1”)
    = p(“linea 1”) · p(“seduta” | “linea 1”)
    = \displaystyle \frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10}
    = \displaystyle \frac{12}{100}
  3. p(“seduta” e “linea 2”)
    = p(“linea 2”) · p(“seduta” | “linea 2”)
    = \displaystyle \frac{4}{10}\cdot \frac{5}{10}
    = \displaystyle \frac{20}{100}
  4. p(“seduta”)
    = p(“seduta” e “linea 1” oppure “seduta” e “linea 2”)
    = p(“linea 1”) · p(“seduta” | “linea 1”) + p(“linea 2”) · p(“seduta” | “linea 2”)
    = \displaystyle \frac{12}{100}+\frac{20}{100}
    = \displaystyle \frac{32}{100}
  5. p(“linea 1” | “seduta”)
    = p(“linea 1” e “seduta”) / p(“seduta”)
    = p(“linea 1”) · p(“seduta” | “linea 1”) / p(“seduta”)
    = \displaystyle \frac{12}{100} : \frac{32}{100}
    = \displaystyle \frac{12}{32}
    = \displaystyle \frac{3}{8}
    = 0,375 = 37,5 %

Quindi

  1. arriva seduta 32 volte su 100
  2. se arriva seduta allora 3 volte su 8 è con la linea 1