Pi greco – Parabole

di

Considera un cerchio di raggio unitario con centro nell’origine.
Sapendo che l’area di uno dei 4 settori circolari è \pi / 4 calcola un valore approssimato di pi greco utilizzando uno dei metodi di integrazione di tipo geometrico.

Metodo delle parabole

Parabolenhx_iy_iArea= \displaystyle \frac{h}{3}\cdot (y_0+4\cdot y_1+y_2)
12\displaystyle \frac{1}{2}01= \displaystyle \frac{1}{6}\cdot\left(1+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)
\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}= \displaystyle \frac{1}{6}+ \frac{\sqrt{3}}{3}
10Pi greco= 4\cdot Area
= \displaystyle 4\cdot\left(\frac{1}{6}+ \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
= \displaystyle \frac{2}{3}+ \frac{4\sqrt{3}}{3}
= 2,976…
Parabolenhx_iy_iArea= \displaystyle \frac{h}{3}\cdot (y_0+4\cdot y_1+2\cdot y_2+4\cdot y_3+y_4)
24\displaystyle \frac{1}{4}01= \displaystyle \frac{1}{12}\cdot\left(1+4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+4\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}+0\right)
\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}= \displaystyle \frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{7}}{12}+\frac{\sqrt{15}}{12}
\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}Pi greco= 4\cdot Area
\displaystyle \frac{3}{4}\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}= \displaystyle 4\cdot\left(\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{\sqrt{7}}{12}+\frac{\sqrt{15}}{12}\right)
10= \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{7}}{3}+\frac{\sqrt{15}}{3}
= 3,08…