Pi greco – Rettangoli di destra

Considera un cerchio di raggio unitario con centro nell’origine.
Sapendo che l’area di uno dei 4 settori circolari è $\pi / 4$ calcola un valore approssimato di pi greco utilizzando uno dei metodi di integrazione di tipo geometrico.

Metodo dei rettangoli con altezze di destra

n	h	$x_i$	$y_i$	Area	= $\displaystyle h\cdot (y_1)$
1	$1$	$1$	$0$		= $\displaystyle 1\cdot(0)$
					= $\displaystyle 0$
				Pi greco	= $4\cdot Area$
					= $\displaystyle 4\cdot(0)$
					= 0,0

n	h	$x_i$	$y_i$	Area	= $\displaystyle h\cdot (y_1+y_2)$
2	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$		= $\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+0\right)$
		$1$	$0$		= $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$
				Pi greco	= $4\cdot Area$
					= $\displaystyle 4\cdot\left( \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
					= $\displaystyle \sqrt{3}$
					= 1,732…

n	h	$x_i$	$y_i$	Area	= $\displaystyle h\cdot (y_1+y_2+y_3)$
3	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$		= $\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}+0 \right)$
		$\displaystyle \frac{2}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$		= $\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{5}}{9}$
		$1$	$0$	Pi greco	= $4\cdot Area$
					= $\displaystyle 4\cdot\left(\frac{2\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{5}}{9}\right)$
					= $\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{9}+\frac{4\sqrt{5}}{9}$
					= 2,25…

n	h	$x_i$	$y_i$	Area	= $\displaystyle h\cdot (y_1+y_2+y_3+y_4)$
4	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}$		= $\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(\frac{\sqrt{15}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}}{4}+0\right)$
		$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$		= $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{16}+ \frac{\sqrt{15}}{16}$
		$\displaystyle \frac{3}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$	Pi greco	= $4\cdot Area$
		$1$	$0$		= $\displaystyle 4\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{\sqrt{7}}{16}+ \frac{\sqrt{15}}{16}\right)$
					= $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{7}}{4}+\frac{\sqrt{15}}{4}$
					= 2,4957…

5	$\displaystyle \frac{1}{5}$				…
				Pi greco	= 2,637…

6	$\displaystyle \frac{1}{6}$				…
				Pi greco	= 2,7286…

100	$\displaystyle \frac{1}{100}$				…
				Pi greco	= 3,12…