Compleanni coincidenti – 3

di

Considera la probabilità dei due eventi complementari al crescere di n (il numero di persone)

  • p(“No”) = p(“nessuna coppia di compleanni coincidenti”)
  • p(“Sì”) = p(“almeno una coppia di compleanni coincidenti”)

Considera il rapporto tra

  • il numero di scelte per n giorni diversi ordinati
  • il numero di scelte per n giorni ordinati
np(“No”)p(“Sì”)
0= 1= 0
1= 1= 0
2= \displaystyle \frac{\displaystyle {365 \choose 2}}{\displaystyle \frac{365^2}{2!}}= \displaystyle \frac{364}{365}= \displaystyle 1-\frac{364}{365}
3= \displaystyle \frac{\displaystyle {365 \choose 3}}{\displaystyle \frac{365^3}{3!}}= \displaystyle \frac{364\cdot 363}{365^2}= \displaystyle 1-\frac{364\cdot363}{365^2}
4= \displaystyle \frac{\displaystyle {365 \choose 4}}{\displaystyle \frac{365^4}{4!}}= \displaystyle \frac{364\cdot 363\cdot 362}{365^3}= \displaystyle 1-\frac{364\cdot363\cdot362}{365^3}
………
n\ge 3= \displaystyle \frac{\displaystyle {365 \choose n}}{\displaystyle \frac{365^n}{n!}}= \displaystyle \frac{\displaystyle 364\cdot363\dots [365-(n-1)]}{\displaystyle 365^{(n-1)}}= \displaystyle 1-\frac{364\dots [365-(n-1)]}{365^{n-1}}