Decrescita programmata

Matematica Senza Frontiere

Annamaria si diverte con le successioni numeriche.
Sceglie un numero intero naturale come primo numero della successione; calcola il successivo moltiplicando tra loro le cifre del numero.
Procede analogamente con il numero ottenuto finché non ottiene un numero con una sola cifra.

Ad esempio, iniziando da 68, ottiene la successione di quattro numeri 68, 48, 32, 6.

Quale numero intero naturale inferiore a 100 comporta, seguendo il procedimento descritto, la successione più lunga?

Soluzione 1

Considera i numeri da 1 a 99 ed elimina i numeri con sequenze più corte.

Per la commutatività del prodotto basta controllare la metà dei numeri (con la cifra delle decine minore o uguale a quella delle unità).

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	99	99

I numeri da 1 a 9 hanno una sola cifra!

Elimina 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	22	23	24	25	26	27	28	29	30
		33	34	35	36	37	38	39	40
			44	45	46	47	48	49	50
				55	56	57	58	59	60
					66	67	68	69	70
						77	78	79	80
							88	89	90
								99

Elimina i numeri con il prodotto delle cifre inferiore a 10: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24, 30, 33, 40, 50, 60, 70, 80, 90

									10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	22	23	24	25	26	27	28	29	30
		33	34	35	36	37	38	39	40
			44	45	46	47	48	49	50
				55	56	57	58	59	60
					66	67	68	69	70
						77	78	79	80
							88	89	90
								99

La cifra 2 porta a sequenze di lunghezza 2 oppure 3.

Esempio: 29 => 18 => 9

Elimina: 25, 26, 27, 28, 29

	25	26	27	28	29
34	35	36	37	38	39
44	45	46	47	48	49
	55	56	57	58	59
		66	67	68	69
			77	78	79
				88	89
					99

Se il prodotto contiene la cifra 1 si ottengono sequenze di lunghezza 3.

Esempio: 36 => 18 => 8

Elimina: 34, 35, 36, 37, 44, 99

34	35	36	37	38	39
44	45	46	47	48	49
	55	56	57	58	59
		66	67	68	69
			77	78	79
				88	89
					99

La cifra 5 porta a sequenze di lunghezza 2, 3, 4.

Esempio: 59 => 45 => 20 => 0

Elimina: 45, 55, 56, 57, 58, 59

			38	39
45	46	47	48	49
55	56	57	58	59
	66	67	68	69
		77	78	79
			88	89

Se il prodotto contiene la cifra 2 si ottengono sequenze di lunghezza 3 oppure 4.

Esempio: 39 => 27 => 14 => 4

Elimina: 38, 39, 46, 47, 48, 67, 89

		38	39
46	47	48	49
66	67	68	69
	77	78	79
		88	89

Se il prodotto contiene la cifra 5 si ottengono sequenze di lunghezza 3 oppure 4.

Esempio: 69 => 54 => 20 => 2

Elimina: 69, 78

			49
66		68	69
	77	78	79
		88

Analizza i numeri rimasti…

			49
66		68
	77		79
		88

Soluzione 2

Per ogni cifra, da 0 a 9, scrivi i numeri che portano a quel prodotto.
Per ogni numero della 2° colonna scrivi i numeri che portano a quel prodotto.
Continua…

0	10	25	55
		52
	20	45	59
			95
		54	69
			96
	30	56	78
			87
		65
	40	58
		85
	50
	60
	70
	80
	90
1	11
2	12	26
		34
		43
		62
	21	37
		73
3	13
	31
4	14	27	39
			93
		72	89
			98
	22
	41
5	15	35	57
			75
		53
	51
6	16	28	47
			74
		44
		82
	23
	32	48	68
			86
		84
	61
7	17
	71
8	18	29
		36	49	77
			66
			94
		63	79
			97
		92
	24	38
		46
		64	88
		83
	42	67
		76
	81	99
9	19
	33
	91

La sequenza 77 –> 7*7 = 49 –> 4*9 = 36 –> 3*6 = 18 –> 1*8 = 8 è quella più lunga.

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