Metodo di Archimede

Pi greco

A ogni passo si costruiscono i due poligoni simili, inscritto e circoscritto, e si calcolano i corrispondenti perimetri

$p_{6} < 2\cdot \pi \cdot r < P_{6}$

$p_{6} < p_{12} < 2\cdot \pi \cdot r < P_{12} < P_{6}$

…

$p_{6} < p_{12} < p_{24} < \dots < 2\cdot \pi \cdot r < \dots < P_{24} < P_{12} < P_{6}$

Si divide per $2\cdot r$

$\displaystyle \frac{p_{6}}{2\cdot r} < \frac{p_{12}}{2\cdot r} < \frac{p_{24}}{2\cdot r} < \dots < \frac{2\cdot \pi \cdot r}{2\cdot r} < \dots < \frac{P_{24}}{2\cdot r} < \frac{P_{12}}{2\cdot r} < \frac{P_{6}}{2\cdot r}$

Si ottengono due sequenze di approssimazioni di π, per difetto e per eccesso

$\pi_{6} < \pi_{12} < \pi_{24} < \dots < \pi < \dots < \Pi_{24} < \Pi_{12} < \Pi_{6}$

Primo passo

Un esagono inscritto e un esagono circoscritto
Δ è la differenze tra i 2 apotemi necessaria per il passo successivo.

	Lato	Perimetro	Pi greco	Apotema	Delta
Esagono inscritto	$\displaystyle l_6$	$\displaystyle p_6 = 6\cdot l_6$	$\displaystyle \pi_6 = \frac{p_6}{2\cdot r}$	$\displaystyle a_6 = \sqrt{r^2-\left(\frac{l_6}{2}\right)^2}$	$\displaystyle\Delta_6 = r-a_6$
Esagono circoscritto	$\displaystyle L_6 = \frac{A_6}{a_6}\cdot l_6$	$\displaystyle P_6 = 6\cdot L_6$	$\displaystyle \Pi_6 = \frac{P_6}{2\cdot r}$	$\displaystyle A_6 = r$

Passi successivi

Un poligono inscritto e un poligono circoscritto
Il numero di lati è doppio rispetto al passo precedente

	Lato	Perimetro	Pi greco	Apotema	Delta
Esagono inscritto	$\displaystyle l_6$	$\displaystyle p_6 = 6\cdot l_6$	$\displaystyle \pi_6 = \frac{p_6}{2\cdot r}$	$\displaystyle a_6 = \sqrt{r^2-\left(\frac{l_6}{2}\right)^2}$	$\displaystyle\Delta_6 = r-a_6$
Poligono inscritto	$\displaystyle l_n = \sqrt{\left(\frac{l_{n/2}}{2}\right)^2+\Delta_{n/2}^2}$	$\displaystyle p_n = n\cdot l_n$	$\displaystyle \pi_n = \frac{p_n}{2\cdot r}$	$\displaystyle a_n = \sqrt{r^2-\left(\frac{l_n}{2}\right)^2}$	$\displaystyle \Delta_n = r-a_n$
Esagono circoscritto	$\displaystyle L_6 = \frac{A_6}{a_6}\cdot l_6$	$\displaystyle P_6 = 6\cdot L_6$	$\displaystyle \Pi_6 = \frac{P_6}{2\cdot r}$	$\displaystyle A_6 = r$
Poligono circoscritto	$\displaystyle L_n = \frac{A_n}{a_n}\cdot l_n$	$\displaystyle P_n = n\cdot L_n$	$\displaystyle \Pi_n = \frac{P_n}{2\cdot r}$	$\displaystyle A_n = r$

Approssimazioni formali

Passo	Numero lati	$\pi$	$\Pi$
1	6	$3$	$\displaystyle 2\cdot \sqrt{3}$
2	12	$\displaystyle 6\cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$	$\displaystyle 12\cdot \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{ \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$
3	24	$\displaystyle 12\cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}$	$\displaystyle 24\cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}$
4	48	$\displaystyle 24\cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}$	$\displaystyle 48\cdot \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}$
5	96	$\displaystyle 48\cdot \sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}}}$	$\displaystyle 96\cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}$
6	192	…	…

Approssimazioni numeriche

Passo	Numero lati	$\pi$	$\Pi$
1	6	3.0000000000	3.4641016151
2	12	3.1058285412	3.2153903092
3	24	3.1326286133	3.1596599421
4	48	3.1393502030	3.1460862151
5	96	3.1410319509	3.142714996
6	192	3.1414524723	3.1418730500
7	384	3.1415576079	3.1416627471
8	768	3,1415838921	3,1416101766
9	1536	3,1415904632	3,1415970343
10	3072	3,1415921060	3,1415937488
11	6144	3,1415925167	3,1415929274
12	12288	3,1415926194	3,1415927220
13	24576	3,1415926450	3,1415926707
14	49152	3.1415926515	3.1415926579
15	98304	3.1415926531	3.1415926547