I connettivi logici

di

Le proposizioni sono affermazioni che possono essere o vere o false.
La logica proposizionale è costituita da:

  • simboli di proposizione: p, q, r, s, …, X, Y, …
  • connettivi logici
    • Logica: Negazione, Congiunzione (et), Disgiunzione (vel), Implicazione, Coimplicazione
    • Simboli: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔
    • Linguaggi di programmazione: NOT, AND, OR, XOR, NOR, NAND, …
    • Foglio di calcolo: NON(), E(), O(), XOR()
  • parentesi: (, )
  • valore FALSO (F, False, F, 0)
  • valore VERO (V, True, T, 1)

NOT, NON(), ¬, Negazione, non

    p     NOT p
+-------+-------+
| FALSO | VERO  |
| VERO  | FALSO |
+-------+-------+

Osserva

  • VERO se p è FALSO
  • FALSO se p è VERO

OR, O(), ∨, Disgiunzione, o, vel

    p       q     p OR q
+-------+-------+--------+
| FALSO | FALSO | FALSO  |
| FALSO | VERO  | VERO   |
| VERO  | FALSO | VERO   |
| VERO  | VERO  | VERO   |
+-------+-------+--------+

Osserva

  • VERO se almeno uno tra p e q è VERO
  • FALSO se entrambi p e q sono FALSO

AND, E(), ∧, Congiunzione, e, et

    p       q     p AND q
+-------+-------+---------+
| FALSO | FALSO | FALSO   |
| FALSO | VERO  | FALSO   |
| VERO  | FALSO | FALSO   |
| VERO  | VERO  | VERO    |
+-------+-------+---------+

Osserva

  • VERO se entrambi p e q sono VERO
  • FALSO se almeno uno tra p e q è FALSO

Proprietà

Per semplificare si utilizzano le abbreviazioni 0 / 1 per i valori logici Falso / Vero

  a   ¬a
+---+----+
| 0 | 1  |
| 1 | 0  |
+---+----+

  a b   a∨b   a∧b
+-----+-----+-----+
| 0 0 | 0   | 0   |
| 0 1 | 1   | 0   |
| 1 0 | 1   | 0   |
| 1 1 | 1   | 1   |
+-----+-----+-----+

Verifica le seguenti uguaglianze confrontando le tabelle di verità corrispondenti

  1. a \land 1 = a
  2. a \land 0 = 0
  3. a \lor 1 = 1
  4. a \lor 0 = a
  5. (a \land b)\land c = a \land (b \land c), associatività and
  6. (a \lor b)\lor c = a \lor (b \lor c), associatività or
  7. \neg (a \land b) = \neg a \lor \neg b, Legge di De Morgan
  8. \neg (a \lor b) = \neg a \land \neg b, Legge di De Morgan
  9. …