Da Progetto Polymath


Questo gioco è stato inventato da Sam Loyd, il grande esperto in giochi matematici americano, ed era, un tempo, molto popolare nelle fiere e feste di paese.

Sul tavolo da gioco ci sono sei quadrati segnati con i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6. I giocatori devono mettere la loro posta in uno dei sei quadrati e successivamente vengono lanciati tre dadi.

  • Se il numero scelto compare soltanto su un dado il giocatore riceve indietro il suo denaro e in più la stessa somma.
  • Se compare su due dadi, riceve indietro il suo denaro più il doppio della stessa somma.
  • Se compare su tutti e tre i dadi riceve indietro il suo denaro più il triplo della stessa somma.
  • Ovviamente se il numero scelto dal giocatore non compare su nessuno dei tre dadi, chi tiene il banco ritira la somma giocata.

Chiariamo il gioco con un esempio.

  • Supponiamo che il giocatore punti un Euro sul 6.
  • Se esce il 6 su uno dei tre dadi, il giocatore riceve indietro il suo Euro, più un altro Euro.
  • Se il 6 esce su due dadi, riceve indietro il suo Euro, più altri due Euro.
  • Nel caso in cui esca il 6 su tutti e tre i dadi, il giocatore riceve indietro il suo Euro, più altri tre Euro.

Il giocatore potrebbe fare questo ragionamento: se la probabilità che esca il mio numero su un dado è 1/6, allora su tre dadi sarà il triplo, cioè 3/6 ovvero 1/2, quindi il gioco è onesto e posso giocare tranquillamente. Ma è corretto questo ragionamento? E se non lo è, qual è la probabilità di vincere o di perdere al gioco?

Osserva

  1. Il giocatore punta sull’uscita del numero x
  2. Lancia i 3 dadi
  3. p(x esce 0 volte) = {3 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}
  4. p(x esce 1 volta) = {3 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{75}{216}
  5. p(x esce 2 volte) = {3 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{15}{216}
  6. p(x esce 3 volte) = {3 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^0 = \frac{1}{216}

Speranza matematica

\frac{75}{216}\cdot 1 + \frac{15}{216}\cdot 2 + \frac{1}{216}\cdot 3 + \frac{125}{216}\cdot (-1)

= \frac{75+30+3-125}{216}

= - \frac{17}{216}

= -0,0787037… ~ -7,87 %


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