Esame di Stato 2011 – 7

25/03/202512/02/2017 di admin

Si provi che l’equazione $x^{2011}+2011 x + 12=0$ ha una sola radice fra -1 e 0.

Studia gli zeri della funzione $f(x)=x^{2011}+2011 x + 12$

Esistenza

f(x) continua in R
f(-1) = -2000
f(0) = 12
Teorema degli zeri: esiste $x_0 \in (-1, 0)$ tale che $f(x_0) = 0$

Unicità

$f'(x)=2011 x^{2010}+2011$
- $\displaystyle 2011x^{2010}+2011 = 0$
- $\displaystyle x^{2010} +1 = 0$ , impossibile
$f'(x) > 0$ in R
f(x) crescente in R
Lo zero è unico

Conclusione

L’equazione $x^{2011}+2011 x + 12=0$ ha una sola radice per $x \in (-1, 0)$

Approssimazione?

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