Indicatori – 4

di

Indici di variabilità / dispersione

  • Campo (range)
  • Varianza, scarto quadratico medio, coefficiente di variazione

Campo di variazione

Range / Intervallo di variabilità / Gamma

Il campo di variazione è il più semplice indice di variabilità ed è dato dalla differenza tra il valore massimo di una distribuzione ed il valore minimo.

Scarto dalla media

s_i = x_i-\overline{x}

Somma degli scarti

\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(x_i-\overline{x}\right)

Se la distribuzione è uniforme

\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(x_i-\overline{x}\right) = 0

Infatti

\displaystyle \sum_{i=1}^n \left(x_i-\overline{x}\right) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {x_i}-\sum_{i=1}^n {\overline{x}} = \displaystyle \sum_{i=1}^n {x_i}-n\cdot {\overline{x}} = \displaystyle \sum_{i=1}^n {x_i}-n\cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {x_i} = 0

Valore medio dello scarto dalla media

M(X-M(X))=0

M(X-M(X))= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\left(x_i-\overline{x}\right) 
= \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \overline{x}= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i x_i-\sum_{i=1}^n p_i \overline{x}
= \displaystyle \overline{x}-\frac{1}{n}\cdot n \cdot\overline{x}= \displaystyle \overline{x}-\overline{x} \sum_{i=1}^n p_i
= 0= \overline{x}- \overline{x}\cdot 1
= 0		 

Valore assoluto dello scarto

\displaystyle |s_i| =|x_{i}-\overline{x}|

Scarto medio assoluto

Lo scarto medio assoluto (o scarto medio semplice) è un indice di dispersione che misura la distanza dalla media aritmetica.
Si calcola per caratteri quantitativi ed è la somma del valore assoluto della differenza tra la modalità \displaystyle x_{i} e la media aritmetica \displaystyle {\bar {x}}  dei valori, diviso il numero \displaystyle n dei valori considerati

\displaystyle \delta (X)= \displaystyle \frac{1}{n} \sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|}= \displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_i |x_{i}-{\bar {x}}|}

Quadrato dello scarto

\displaystyle s_i^2 =\left(x_{i}-\overline{x}\right)^2

Devianza

Somma dei quadrati degli scarti dalla media

\displaystyle dev(X) =\sum_{i=1}^{n}{\left(x_{i}-\overline{x}\right)^2}

Varianza

Varianza di X, valor medio dello scarto al quadrato

\displaystyle var(X)= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_{i}-\overline{x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left(x_{i}-\overline{x}\right)^2

Proprietà

  • var(X) ≥ 0
  • var(X) = 0 ⇔ X è costante
  • \displaystyle var(X+b) = var(X)
  • \displaystyle var(aX) = a^2\ var(X)
  • var(aX+b) = a^2\ var(X)+b
  • \displaystyle var(X) = M(X^2)-[M(X)] ^2
\displaystyle var(X+b)= \displaystyle\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left((x_{i}+b)-\overline{(x+b)}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left((x_{i}+b)-\overline{(x+b)}\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_{i}+b-\overline{x}-b\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left(x_{i}+b-\overline{x}-b\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_{i}-\overline{x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left(x_{i}-\overline{x}\right)^2
= \displaystyle var(X)= \displaystyle var(X)
\displaystyle var(aX)= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(a\cdot x_{i}-\overline{a\cdot x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\left(a\cdot x_{i}-\overline{a\cdot x}\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(a\cdot x_{i}-a\cdot\overline{x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left(a\cdot x_{i}-a\cdot\overline{x}\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(a\cdot( x_{i}-\overline{x})\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \left(a\cdot( x_{i}-\overline{x})\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a^2\cdot\left( x_{i}-\overline{x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\cdot a^2\cdot\left( x_{i}-\overline{x}\right)^2
= \displaystyle a^2\cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_{i}-\overline{x}\right)^2= \displaystyle a^2 \sum_{i=1}^n p_i \left( x_{i}-\overline{x}\right)^2
= \displaystyle a^2\cdot var(X)= \displaystyle a^2\cdot var(X)
\displaystyle var(X)= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_{i}-\overline{x}\right)^2= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\left(x_{i}-\overline{x}\right)^2
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_{i}^2-2\cdot x_i\cdot \overline{x}+{\overline{x}}^2\right)= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\left(x_{i}^2-2\cdot x_i\cdot \overline{x}+{\overline{x}}^2\right)
= \displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_{i}^2 -2\cdot \overline{x}\cdot \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i +\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n {\overline{x}}^2\right)= \displaystyle \sum_{i=1}^n p_i\ x_{i}^2 -2\cdot \overline{x}\cdot \sum_{i=1}^n p_i\ x_i + \sum_{i=1}^n p_i\ {\overline{x}}^2\right)
= M(X^2)-2[M(X)] ^2+[M(X)] ^2= M(X^2)-2[M(X)] ^2+[M(X)] ^2
= M(X^2)-[M(X)] ^2= M(X^2)-[M(X)] ^2

Deviazione standard
Scarto quadratico medio

Ha la stessa unità di misura delle osservazioni

\displaystyle \sigma(X) = \sqrt{var(X)}

Deviazione standard relativa
Coefficiente di variazione

Consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute

\displaystyle \sigma^{*}(X)=\frac{\sigma(X)}{|M(X)|}