Polinomio di Lagrange

Edward Waring (1779), Leonhard Euler (1783), Joseph Louis Lagrange (1795)

La funzione polinomiale di grado n passante per n+1 punti.
Le ascisse dei punti devono sono tutte diverse.

Grado = 1

y = ax+b

  • P_0 = (x_0, y_0)
  • P_1 = (x_1, y_1)

Grado = 2

y = ax^2+bx+c

  • P_0 = (x_0, y_0)
  • P_1 = (x_1, y_1)
  • P_2 = (x_2, y_2)

Grado = 3

y = ax^3+bx^2+cx+d

  • P_0 = (x_0, y_0)
  • P_1 = (x_1, y_1)
  • P_2 = (x_2, y_2)
  • P_3 = (x_3, y_3)

Grado = n

y = ax^n+bx^{n-1}+\cdots

  • P_0 = (x_0, y_0)
  • P_1 = (x_1, y_1)
  • P_n = (x_n, y_n)

Grado = 1

\begin{cases}y_0 = a x_0 +b\\y_1 = a x_1 +b\end{cases}

\begin{cases}a = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\\\b = \displaystyle\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{x_1-x_0}\end{cases}

Versione 1

y = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \cdot x + \displaystyle\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{x_1-x_0}

Versione 2

\displaystyle \frac{y-y_0}{y_1-y_0} =  \displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}

oppure

\displaystyle \frac{y-y_0}{x-x_0} =  \displaystyle \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}

Versione 3

y = y_0\cdot \displaystyle \frac{x-x_1}{x_0-x_1} + y_1\cdot \displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}


Grado = 2

Ripetendo tutti i passaggi si ripropone il problema di avere una formulazione di semplice memorizzazione…

y = y_0\cdot \displaystyle \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1\cdot \displaystyle \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2\cdot \displaystyle \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}

Riassumibile come

y = y_0\cdot L_0 + y_1\cdot L_1 + y_2\cdot L_2

Osserva

  1. L_0 è il prodotto con x e x_0 fissi e variano x_1 e x_2: L_0(x_0) = 1, L_0(x_1) = 0, L_0(x_2) = 0
  2. L_1 è il prodotto con x e x_1 fissi e variano x_0 e x_2: L_1(x_0) = 0, L_1(x_1) = 1, L_1(x_2) = 0
  3. L_2 è il prodotto con x e x_2 fissi e variano x_0 e x_1: L_2(x_0) = 0, L_2(x_1) = 0, L_2(x_2) = 1

Quindi

  • y(x_0) = y_0\cdot 1 + y_1\cdot 0 + y_2\cdot 0 = y_0
  • y(x_1) = y_0\cdot 0 + y_1\cdot 1 + y_2\cdot 0 = y_1
  • y(x_2) = y_0\cdot 0 + y_1\cdot 0 + y_2\cdot 1 = y_2

Grado = n

Lo schema generale è il polinomio di Lagrange

y = y_0 \cdot L_0 + y_1 \cdot L_1 + \dots + y_n \cdot L_n

y = \displaystyle \sum_{k} y_k \cdot L_k

y = \displaystyle \sum_{k} y_k \cdot \displaystyle\prod_{i \ne k}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}