Polinomio di Lagrange

Radici e zeri

Edward Waring (1779), Leonhard Euler (1783), Joseph Louis Lagrange (1795)

La funzione polinomiale di grado n passante per n+1 punti.
Le ascisse dei punti devono essere tutte diverse.

Grado = 1

$y = ax+b$

$P_0 = (x_0, y_0)$
$P_1 = (x_1, y_1)$

Grado = 2

$y = ax^2+bx+c$

$P_0 = (x_0, y_0)$
$P_1 = (x_1, y_1)$
$P_2 = (x_2, y_2)$

Grado = 3

$y = ax^3+bx^2+cx+d$

$P_0 = (x_0, y_0)$
$P_1 = (x_1, y_1)$
$P_2 = (x_2, y_2)$
$P_3 = (x_3, y_3)$

Grado = n

$y = ax^n+bx^{n-1}+\cdots$

$P_0 = (x_0, y_0)$
$P_1 = (x_1, y_1)$
…
$P_n = (x_n, y_n)$

Grado = 1

$\begin{cases}y_0 = a x_0 +b\\y_1 = a x_1 +b\end{cases}$

…

$\begin{cases}a = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\\\b = \displaystyle\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{x_1-x_0}\end{cases}$

Versione 1

$y = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \cdot x + \displaystyle\frac{y_0 x_1-y_1 x_0}{x_1-x_0}$

Versione 2

$\displaystyle \frac{y-y_0}{y_1-y_0} = \displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

oppure

$\displaystyle \frac{y-y_0}{x-x_0} = \displaystyle \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$

Versione 3

$y = y_0\cdot \displaystyle \frac{x-x_1}{x_0-x_1} + y_1\cdot \displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}$

Grado = 2

Ripetendo tutti i passaggi si ripropone il problema di avere una formulazione di semplice memorizzazione…

$y = y_0\cdot \displaystyle \frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)} + y_1\cdot \displaystyle \frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)} + y_2\cdot \displaystyle \frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}$

Riassumibile come

$y = y_0\cdot L_0 + y_1\cdot L_1 + y_2\cdot L_2$

Osserva

$L_0$ è il prodotto con $x$ e $x_0$ fissi e variano $x_1$ e $x_2$ : $L_0(x_0) = 1$ , $L_0(x_1) = 0$ , $L_0(x_2) = 0$
$L_1$ è il prodotto con $x$ e $x_1$ fissi e variano $x_0$ e $x_2$ : $L_1(x_0) = 0$ , $L_1(x_1) = 1$ , $L_1(x_2) = 0$
$L_2$ è il prodotto con $x$ e $x_2$ fissi e variano $x_0$ e $x_1$ : $L_2(x_0) = 0$ , $L_2(x_1) = 0$ , $L_2(x_2) = 1$