Numeri di Fibonacci – Proprietà

di

Proprietà 1

L’ennesimo numero di Fibonacci è uguale alla somma dei primi n-2 numeri più 1

\displaystyle f(n)=\sum_{i=1}^{n-2} f(i) +1, n > 2

n\displaystyle \sum_{i=1}^{n-2} f(i)f(n)
11
21
31= 11+1= 2
41+1
= 22+1= 3
51+1+2= 44+1= 5
61+1+2+3= 77+1= 8
71+1+2+3+5= 1212+1= 13
………

Proprietà 2

Il rapporto tra due numeri consecutivi, per n molto grande, è uguale al suo reciproco più 1 (hanno le stesse cifre dopo la virgola!)

\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)} = \displaystyle \frac{f(n-1)+f(n-2)}{f(n-1)} = \displaystyle 1+ \frac{f(n-2)}{f(n-1)}, per ogni n>2

Per n molto grande

\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)} = \displaystyle \frac{f(n-1)}{f(n)}+1

nf(n)\displaystyle \frac{f(n)}{f(n-1)}\displaystyle \frac{f(n-1)}{f(n)}
11  
211/1= 11/1= 1
322/1= 21/2= 0,5
433/2= 1,5= 1+0,52/3= 0,66…
555/3= 1,66…= 1+0,66…3/5= 0,6
688/5= 1,6= 1+0,65/8= 0,625
71313/8= 1,625= 1+0,6258/13= 0,615…
………………
………= 1,61803…= 1+0,61803……= 0,61803…