Curve

di
L-System
  • Arrowhead
  • Curva di Koch – …
  • Fibonacci Word

Arrowhead

La curva Arrohead al limite produce il triangolo di Sierpinski

La grammatica

  • variabili: F, X
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regole di produzione
    • F → +X-F-X+
    • X → -F+X+F-

Graficamente

  • F, X: avanza
  • +: gira a sinistra di 45°
  • –: gira a destra di 45°

Si alternano due primitive F e X che si sviluppano in direzioni opposte (utilizzo due colori diversi).

Produzioni

  1. 1: F
  2. 7: +X-F-X+
  3. 25: +-F+X+F--+X-F-X+--F+X+F-+
  4. 79: …
  5. 241: …
  6. 727: …
  7. 2185: …

Curva di Koch

La curva di Koch è la più conosciuta perché è alla base del frattale di Koch (cristallo di neve, snowflake)

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → F+F--F+F

Graficamente

  • F: avanza di un passo
  • +: gira a sinistra di 60°
  • –: gira a destra di 60°

Produzioni

  1. La stringa è di lunghezza 1, l’assioma F (vai avanti)
  2. Si applica la regola di produzione per la prima volta e si ottiene una stringa di lunghezza 8: F+F--F+F
  3. 36: F+F--F+F+F+F--F+F--F+F--F+F+F+F--F+F
  4. 148
  5. 596

Se l’angolo è maggiore di 60°, per esempio 80°, si ottengono delle punte più acuminate.

Al limite, 90°, si ottiene una curva di Peano.

Il triangolo si sviluppa verso l’interrno

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → FF+F+F+FF

Curva di Koch – 2

Invece di una triangolo isoscele si protende un quadrato

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → F+F-F-F+F

L’angolo diventa 90°.

Il quadrato si sviluppa verso l’interrno

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → FF+F+F+F+FF

Curva di Koch – 3

Un triangolo verso l’alto e un triangolo verso il basso

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → F+F-FF++F-F

L’angolo è 60°.

Per ogni F: avanza, gira a sinistra, avanza, gira a destra, gira a destra, avanza, avanza, gira a sinistra, gira a sinistra, avanza, gira a destra, avanza

Produzioni

  1. 1: F
  2. 12: F+F--FF++F-F
  3. 78: F+F--FF++F-F + F+F--FF ++F-F -- F+F--FF++F-F F+F--FF++F-F ++ F+F--FF++F-F - F+F--FF++F-F
  4. 474: …
  5. 2850: …

Curva di Koch – 4

Un quadrato verso l’alto e un quadrato verso il basso

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → F+F-F-FF+F+F-F

L’angolo è 90°.

Per ogni F: avanza, gira a sinistra, avanza, gira a destra, avanza, gira a destra, avanza, avanza, gira a sinistra, avanza, gira a sinistra, avanza, gira a destra, avanza

Produzioni

  1. F
  2. 14: F+F-F-FF+F+F-F
  3. 118: F+F-F-FF+F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F-F+F-F-FF+F+F-F-F+F-F-FF+F+F-FF+F-F-FF+F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F+F+F-F-FF+F+F-F-F+F-F-FF+F+F-F
  4. 950: …
  5. 7606: …

Curva di Koch – ?

Variazione che indirizza verso le curve di Peano e le Piante

La grammatica

  • variabile: F
  • costanti: +, –
  • assioma: F
  • regola di produzione
    • F → FF+F++F+F

L’angolo è 90°.

Fibonacci Word

La grammatica 

  • variabili: 0, 1
  • assioma: 0
  • regole di produzione:
    • 0 → 01
    • 1 → 0

Graficamente

  • 0, avanza
    • se l’indice è pari gira a sinistra di 90°
    • se l’indice è dispari gira a destra di 90°
  • 1, avanza

L’animazione precedente visualizza 16 passi ma i primi sono poco visibili.
La prossima animazione visualizza 19 passi e “zooma” a ogni passo.

Produzioni

  1. 0
  2. 01
  3. 01 0
  4. 01 0 01
  5. 01 0 01 01 0
  6. 01 0 01 01 0 01 0 01

Se il segno + indica la concatenazione tra stringhe allora

  • S1 = 0
  • S2 = 01
  • Sn = Sn-1+Sn-2

Questo lega la sequenza ai numeri di Fibonacci con tutte le proprietà collegate.

Produzioni

  1. 0
  2. 01
  3. 01 0
  4. 010 01
  5. 01001 010