Moneta di Buffon 2

di

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato L.
La probabilità che la moneta tocchi il bordo di una mattonella dipende dalla dimensione (raggio) della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno del quadrato interno.

Siano

  1. L: lato della piastrella
  2. S: superficie della piastrella
  3. R: raggio della moneta
  4. Li: lato del quadrato interno
  5. Si: superficie del quadrato interno
  6. pi: probabilità che il centro della moneta cada nel quadrato interno
  7. p: probabilità che la moneta tocchi il bordo

Osserva

  1. \displaystyle S = L^2
  2. \displaystyle 0 \leq R \leq \frac{L}{2}
  3. \displaystyle L_i=L-2\cdot R
  4. \displaystyle S_i = L_i^2 = (L-2\cdot R)^2
  5. \displaystyle p_i = \frac{S_i}{S} = \frac{(L-2\cdot R)^2}{L^2}
  6. \displaystyle p = 1-p_i

Per semplificare i calcoli: L = 1

  1. S = 1
  2. \displaystyle 0 \leq R \leq \frac{1}{2}
  3. \displaystyle L_i = 1-2\cdot R
  4. \displaystyle S_i = (1-2\cdot R)^2
  5. \displaystyle p_i = (1-2\cdot R)^2

Teoricamente, la probabilità che la moneta tocchi il bordo della piastrella nei 3 casi in figura è

Raggio moneta
1/8 2/8 3/8
Li 6/8 4/8 2/8
Si
pi		 36/64 16/64 4/64
p 28/64 48/64 60/64
0,4375 0,7500 0,9375

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora p \rightarrow 0
  • Se \displaystyle R \rightarrow \frac{1}{2} allora p \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della mattonella: (0,0)
  • le coordinate casuali del centro della moneta: (x,y)
  • \displaystyle -\frac{1}{2}\leq x \leq +\frac{1}{2}
  • \displaystyle -\frac{1}{2}\leq y \leq +\frac{1}{2}
  • la moneta tocca il bordo di una mattonella se \displaystyle |x|\geq \frac{1}{2}-R oppure \displaystyle |y|\geq \frac{1}{2}-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della mattonella e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

Numero lanci Raggio moneta
1/8 2/8 3/8
10 ? ? ?
100 ? ? ?
1000 ? ? ?
10000 ? ? ?
100000 ? ? ?
0,4375 0,7500 0,9375
Probabilità teorica